Question

已知函数f(x)在(-1，1)上有意义，f(

1

2

)=-1，且对任意的x、y∈（-1，1）都有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)．
（1）若数列{xn}满足x1=

1

2

，xn+1=

2xn

1+ x 2 n

(n∈N*)，求f(xn)．
（2）求1+f(

1

5

)+f(

1

11

)…+f(

1

n2+3n+1

)+f(

1

n+2

)的值．

Answer 1

分析：（1）由题意得f(xn+1)=f(

2xn

1+ x n 2

)=f(

xn+xn

1+xnxn

)=f(xn)+f(xn)=2f(xn)，从而∴{f（x_n）}是以-1为首项，以2为公比的等比数列，故可求；（2）先证f（x）在（-1，1）上为奇函数，再用裂项求和法求和．

解答：解：（1）∵1+

x

2 n

≥2|xn|∴|

2xn

1+ x 2 n

|≤1又x1=

1

2

．∴|

2xn

1+ x 2 n

|＜1…（3分） f(x1)=f(

1

2

)=-1
而f(xn+1)=f(

2xn

1+ x 2 n

)=f(

xn+xn

1+xnxn

)=f(xn)+f(xn)=2f(xn)．…（5分）∴

f(xn+1)

f(xn)

=2∴{f（x_n）}是以-1为首项，以2为公比的等比数列，故f（x_n）=-2^n-1…（7分）
（2）由题设，有f(0)+f(0)=f(

0+0

1+0

)=f(0)，故f(0)=0…（8分）
又x∈(-1，1)，有f(x)+f(-x)=f(

x-x

1-x2

)=f(0)=0，
得f（-x）=-f（x），故知f（x）在（-1，1）上为奇函数…（10分）  由

1

k2+3k+1

=

1

(k+1)(k+2)-1

=

1 (k+1)(k+2)

1- 1 (k+1)(k+2)

=

1 k+1 - 1 k+2

1- 1 (k+1)(k+2)

得f(

1

k2+3k+1

)=f(

1

k+1

)+f(-

1

k+2

)=f(

1

k+1

)-f(

1

k+2

)，
于是

n

k=1

f(

1

k2+3k+1

)=f(

1

2

)-f(

1

n+2

)=-1-f(

1

n+2

)．
故1+f(

1

5

)+f(

1

11

)…+f(

1

n2+3n+1

)+f(

1

n+2

)=0．…（12分）

点评：本题主要考查等比数列的定义及裂项求和法求和，考查学生分析解决问题的能力，属于难题