Question

已知函数f(x)=

ax+b

1+x2

是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(

1

2

)=

2

5

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）用单调性的定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数；
（3）解不等式f（t²-1）+f（t）＜0．

Answer 1

分析：（1）函数是定义在（-1，1）上的奇函数，可得f（0）=0，再结合f(

1

2

)=

2

5

联解，可得a、b的值，从而得到函数f（x）的解析式．
（2）设-1＜x₁＜x₂＜1，将f（x₁）与f（x₂）作差、因式分解，经过讨论可得f（x₁）＜f（x₂），由定义知f（x）是（-1，1）上的增函数．
（3）根据f（x）是奇函数且在（-1，1）上是增函数，得原不等式可化为t²-1＜-t…①，再根据函数的定义域得-1＜t²-1＜1且-1＜t＜1…②，联解①②可得原不等式的解集．

解答：解：（1）∵函数f(x)=

ax+b

1+x2

是定义在（-1，1）上的奇函数，
∴由f（0）=0，得b=0．
又∵f(

1

2

)=

2

5

，∴

1 2 a

1+ 1 4

=

2

5

，解之得a=1；
因此函数f（x）的解析式为：f(x)=

x

1+x2

．
（2）设-1＜x₁＜x₂＜1，则 f(x1)-f(x2)=

x1

1+ x 2 1

-

x2

1+ x 2 2

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

∵-1＜x₁＜x₂＜1，
∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，1+x₁²＞0，1+x₂²＞0，
从而f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
所以f（x）在（-1，1）上是增函数．
（3）∵f（x）是奇函数，
∴f（t²-1）+f（t）＜0即为f（t²-1）＜-f（t）=f（-t），
又∵f（x）在（-1，1）上是增函数，
∴f（t²-1）＜f（-t）即为t²-1＜-t，解之得：-

1+ 5

2

＜t＜

-1+ 5

2

…①
又∵

-1＜t2-1＜1 -1＜t＜1

，解之得-1＜t＜1且t≠0…②
对照①②，可得t的范围是：(-1，0)∪(0，

-1+ 5

2

)．
所以，原不等式的解集为(-1，0)∪(0，

-1+ 5

2

)．

点评：本题给出含有字母参数的分式函数，在已知奇偶性的前提下求函数的解析式，并且讨论的函数的单调性，着重考查了函数的单调性与奇偶性、一元二次不等式的解法等知识，属于基础题．