题目内容

已知数列{a_n}是等比数列，S_n为其前n项和．
（I）设 $数学公式$ ，求a_n；
（II）若S₄，S₁₀，S₇成等差数列，证明a₁，a₇，a₄也成等差数列．

解：（I）设等比数列{a_n}的公比等于q，则由 $\text{[math]}$ 可得
$\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，两式相除解得q=- $\text{[math]}$ ，代入其中一式可得 a₁=2．
故通项公式 a_n=2× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
（II）由S₄，S₁₀，S₇成等差数列，可得q≠1， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ．
故有 2q¹⁰=q⁴+q⁷，化简得 1+q³=2q⁶，∴a₁+a₁q³=a₁q⁶，
即 a₁+a₄=2a₇，故a₁，a₇，a₄也成等差数列．
分析：（I）设等比数列{a_n}的公比等于q，由题意可得 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求出a₁和q的值，
即可得到a_n．
（II）由S₄，S₁₀，S₇成等差数列，可得q≠1，a₁+a₁q³=a₁q⁶，即 a₁+a₄=2a₇，命题得证．
点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，等比数列的前n项和公式的应用，属于中档题．

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（2）已知数列{a_n}是等和数列，且a₁=2，公和为5，求 a₁₈的值，并猜出这个数列的通项公式（不要求证明）．