Question

（2009•虹口区一模）已知：椭圆C1：

x2

4

+

y2

b2

=1(0＜b＜2)和双曲线C2：

x2

a2

-

y2

4

=1．过椭圆C₁的右焦点F₂作与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于P，Q两点，|PQ|=3．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）若以椭圆右顶点A为圆心，|AF₂|为半径的圆与双曲线C₂的渐近线相切，求双曲线的方程．

Answer 1

分析：（1）椭圆过焦点垂直长轴的直线被椭圆截得的弦长等于

2b 2

a

，用此公式代入已知条件，可以求出椭圆C₁的半短轴b的值，从而得出椭圆C₁的方程；
（2）以椭圆右顶点A为圆心，|AF₂|为半径的圆与双曲线C₂的渐近线相切，说明右顶点A（2，0）到双曲线的渐近线2x±ay=0的距离等于该圆的半径1，用点到直线的距离公式建立关系式，可以求出双曲线的实半轴a的值，从而得出双曲线的方程．

解答：解：（1）根据椭圆C1：

x2

4

+

y2

b2

=1(0＜b＜2)，
过右焦点F₂作与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|=3．
可得：2×

b 2

2

=3⇒b=

3

所以椭圆C₁的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）由（1）得椭圆的右顶点为A（2，0），焦点F₂（1，0）
∵椭圆右顶点A为圆心，|AF₂|为半径的圆与双曲线C₂的渐近线相切，
∴点A（2，0）到直线y=±

2

a

x的距离等于圆的半径1
得

|4|

2 2+a 2

=1⇒a²=12
∴双曲线C₂的方程为：

x2

12

-

y2

4

=1．

点评：本题考查了椭圆的标准方程和双曲线的标准方程，属于中档题．直线与圆锥曲线、直线与圆和椭圆相结合，利用点到直线的距离解决相切相交等等考点，是近几年常考的知识点，值得我们注意．