Question

已知函数f(x)=

3

sin(ωx+φ)-cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，且函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为

π

2

．
（1）求出φ的值，写出f（x）的解析式；  （2）设a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若sinA=

2 2

3

，f(

B

2

)=1，b=1，求边长a．

Answer 1

分析：（1）化简函数表达式为一个角的一个三角函数的形式，利用函数是奇函数，求出φ的值，利用周期求出ω的值，得到f（x）的解析式；  
（2）通过f(

B

2

)=1求出sinB=

1

2

，利用正弦定理求边长a．

解答：解：（1）函数f(x)=

3

sin(ωx+φ)-cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ-

π

6

）
由题意f（-x）=-f（x）即2sin（-ωx+φ-

π

6

）=-2sin（ωx+φ-

π

6

）
于是，sin（-ωx+φ-

π

6

）+sin（ωx+φ-

π

6

）=0
由两角和的正弦公式，得
sin（-ωx）cos（φ-

π

6

）+cos（-ωx）sin（φ-

π

6

）+sin（ωx）cos（φ-

π

6

）+cos（ωx）sin（φ-

π

6

）=0
即：2cos（-ωx）sin（φ-

π

6

）=0
ω＞0 x∈R，知sin（φ-

π

6

）=0
又-

π

6

＜φ-

π

6

＜

5π

6

所以φ-

π

6

=0，φ=

π

6

函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为

π

2

．
所以T=π，ω=2
∴f（x）=2sin2x
（2）f（

B

2

）=2sinB=1，所以sinB=

1

2

由正弦定理，

a

sinA

=

b

sinB

，即

a

2 2 3

=

1

1 2

，解得a=

4 2

3

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，周期的应用，正弦定理的应用，考查计算能力，逻辑推理能力．