题目内容
已知数列{an}满足an+1=an-an-1（n≥2），a1=1，a2=3，记Sn=a1+a2+…+an，则下列结论正确的是（ ）A．a100=-1，S100=5
B．a100=-3，S100=5
C．a100=-3，S100=2
D．a100=-1，S100=2
【答案】分析：由an+1=an-an-1（n≥2）可推得该数列的周期为6，易求该数列的前6项，由此可求得答案．
解答：解：由an+1=an-an-1（n≥2），得
an+6=an+5-an+4=an+4-an+3-an+4=-an+3=-（an+2-an+1）=-（an+1-an-an+1）=an，
所以6为数列{an}的周期，
又a3=a2-a1=3-1=2，a4=a3-a2=2-3=-1，a5=a4-a3=-1-2=-3，a6=a5-a4=-3-（-1）=-2，
所以a100=a96+4=a4=-1，
S100=16（a1+a2+a3+a4+a5+a6）+a1+a2+a3+a4=16×0+1+3+2-1=5，
故选A．
点评：本题考查数列递推式、数列求和，考查学生分析解决问题的能力．
解答：解：由an+1=an-an-1（n≥2），得
an+6=an+5-an+4=an+4-an+3-an+4=-an+3=-（an+2-an+1）=-（an+1-an-an+1）=an，
所以6为数列{an}的周期，
又a3=a2-a1=3-1=2，a4=a3-a2=2-3=-1，a5=a4-a3=-1-2=-3，a6=a5-a4=-3-（-1）=-2，
所以a100=a96+4=a4=-1，
S100=16（a1+a2+a3+a4+a5+a6）+a1+a2+a3+a4=16×0+1+3+2-1=5，
故选A．
点评：本题考查数列递推式、数列求和，考查学生分析解决问题的能力．
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