Question

已知函数f（x）=sin（ωx+?）（ω＞0，0≤?≤π）为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若α∈(-

π

3

，

π

2

)，f(α+

π

3

)=

1

3

，求sin(2α+

5π

3

)的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函数f（x）=sin（ωx+?）（ω＞0，0≤?≤π）为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π，确定函数的周期，求出ω，确定?的值，求出f（x）的解析式；
（Ⅱ）若α∈(-

π

3

，

π

2

)，f(α+

π

3

)=

1

3

，求出，cos(α+

π

3

)=

1

3

，利用诱导公式化简sin(2α+

5π

3

)，然后再用二倍角公式求出它的值．

解答：解：（Ⅰ）∵图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π，
∴T=2π，则ω=

2π

T

=1．
∴f（x）=sin（x+?）．（2分）
∵f（x）是偶函数，
∴?=kπ+

π

2

(k∈Z)，又0≤?≤π，
∴?=

π

2

．
则 f（x）=cosx．（5分）
（Ⅱ）由已知得cos(α+

π

3

)=

1

3

，∵α∈(-

π

3

，

π

2

)，
∴α+

π

3

∈(0，

5π

6

)．
则sin(α+

π

3

)=

2 2

3

．（8分）
∴sin(2α+

5π

3

)=-sin(2α+

2π

3

)=-2sin(α+

π

3

)cos(α+

π

3

)=-

4 2

9

．（12分）

点评：本题是中档题，考查函数解析式的求法，诱导公式和二倍角的应用，考查计算能力，根据角的范围求出三角函数值是本题的解题依据．