Question

数列{a_n}、{b_n}满足a₃=b₃=6，a₄+b₄=4，a₅=b₅=3，且{a_n+1-a_n}(n∈N^*)是等差数列，{b_n-2}(n∈N^*)是等比数列.

(Ⅰ)求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；

(Ⅱ)n取何值时，a_n-b_n取到最小正值?试证明你的结论.

Answer 1

解：(Ⅰ)设c_n=a_n+1-a_n,数列{a_n+1-a_n}的公差为d,

则c₃=a₄-a₃=-2,c₄=a₅-a₄=-1,∴d=c₄-c₃=1,

∴c_n=c₃+(n-3)=n-5,∴a_n+1-a_n=n-5

∴(a_n-a_n-1)+(a_n-1-a_n-2)+…+(a₅-a₄)+(a₄-a₃)=(n-6)+(n-7)+…+(-1)+(-2)

∴a_n-a₃=,

∴a_n=n²-n+18(n∈N*) 

设d_n=b_n-2,数列{b_n-2}的公比是q,则

d₃=b₃-2=4,d₄=b₄-2=2,∴q=,

∴d_n=d₃q^n-3=4·()^n-3=2^5-n,∴b_n=2+2^5-n(n∈N*). 

(Ⅱ)a₁-b₁=-5,a₂-b₂=-1,a₃-b₃=a₄-b₄=a₅-b₅=0,a₆-b₆=,a₇-b₇=＞,

猜想:n=6时,a₆-b₆取到最小正值.

下面用数学归纳法给以证明：

(1)当n=7时,a₇-b₇=＞,

(2)假设n=k(k≥7,k∈N*)时,a_k-b_k＞,

当n=k+1时,a_k+1=(k+1)²-(k+1)+18=(k²-k+18)+k-5=a_k+k-5＞b_k++k-5＞b_k+1++k-5

又∵k≥7,∴a_k+1＞b_k+1+,即a_k+1-b_k+1＞∴n=k+1时,猜想成立.

由(1),(2)知,对任意不小于7的正整数n,均有a_n-b_n＞

综上所述,n=6时,a₆-b₆取到最小正值.