Question

函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调减函数，且满足条件f（2）=1．且f（xy）=f（x）+f（y）；
（1）证明：f（1）=0；
（2）若f（x）+f（x-3）≥2成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据所给的恒等式，对x与y进行赋值，令x=y=1，代入即可求得f（1）的值；
（2）根据恒等式将f（x）+f（x-3）≥2，等价转化为f（x²-3x）≥f（4），再利用函数的单调性，去掉“f”，列出关于x的不等式，求解即可得到x的取值范围．

解答：（1）证明：∵f（xy）=f（x）+f（y），
∴令x=y=1，则f（1×1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0；
（2）解：∵f（xy）=f（x）+f（y），
∴令x=y=2，则f（2×2）=f（2）+f（2）=2f（2），
∵f（2）=1，
∴f（4）=2，
∵f（x）+f（x-3）≥2，且f（xy）=f（x）+f（y），
∴f[x（x-3）]≥2，即f[x（x-3）]≥2=f（4），
∴f（x²-3x）≥f（4），
∵函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调减函数，
∴x²-3x≤4，x＞0且x-3＞0，
解得3＜x≤4，
∴f（x）+f（x-3）≥2成立的x的取值范围是3＜x≤4．

点评：本题主要考查了利用赋值法求解抽象函数的函数值，及利用函数的单调性求解不等式，属于函数知识的综合应用，解决本题的关键是综合运用函数性质把抽象不等式化为具体不等式．属于中档题．