Question

．(本小题满分12分）

已知函数，是常数）在x=e处的切线方程为，既是函数的零点，又是它的极值点．

(1)求常数a,b,c的值；

(2)若函数在区间(1，3)内不是单调函数，求实数m的取值范围；

(3)求函数的单调递减区间，并证明：

 

Answer 1

【答案】

(1) ，， (2) (3) , 证明：当时, 即对一切都成立，亦即对一切都成立， 所以，，，…， 所以有，

所以. 

【解析】

试题分析：（1）由知，的定义域为,,

又在处的切线方程为，所以有

,①

由是函数的零点，得,②

由是函数的极值点，得，③

由①②③，得，，.  

（2）由(1)知，

因此，，所以

.

要使函数在内不是单调函数，则函数在内一定有极值，而

，所以函数最多有两个极值.

令. 

（ⅰ）当函数在内有一个极值时，在内有且仅有一个根，即

在内有且仅有一个根，又因为，当          ，即时，在内有且仅有一个根

，当时，应有，即，解得，所 以有.  

（ⅱ）当函数在内有两个极值时，在内有两个根，即二次函

数在内有两个不等根，所以

解得.

综上，实数的取值范围是.

（3）由，得，

令，得，即的单调递减区间为.

由函数在上单调递减可知，

当时, ，即，

亦即对一切都成立，

亦即对一切都成立，

所以，

，

，

…

，

所以有，

所以. 

考点：函数导数的几何意义及利用函数的导数判定单调性求极值

点评：本题第一问题型基础简单，第二问需要分情况讨论，对学生有一定的难度，第三问需要借助于单调性求出最值进而转化为恒成立的不等式，难度大