题目内容
是否存在常数a、b、c，使等式(
)3+(
)3+(
)3+…+(
)3=
对一切n∈N*都成立？证明你的结论．
| 1 |
| n |
| 2 |
| n |
| 3 |
| n |
| n |
| n |
| an2+bn+c |
| n |
分析：先假设存在符合题意的常数a，b，c，再令n=1，n=2，n=3构造三个方程求出a，b，c，再用用数学归纳法证明成立，证明时先证：（1）当n=1时成立．（2）再假设n=k（k≥1）时，成立，即(
)3+(
)3+(
)3+…+(
)3=
，再递推到n=k+1时，成立即可．
| 1 |
| k |
| 2 |
| k |
| 3 |
| k |
| k |
| k |
| ak2+bk+c |
| k |
解答：证明：假设存在符合题意的常数a，b，c，
在等式(
)3+(
)3+(
)3+…+(
)3=
中，
令n=1，得1=a+b+c ①
令n=2，得(
)3+(
)3=2a+b+
②
令n=3，得(
)3+(
)3+(
)3=
=3a+b+
③
由①②③解得a=
，b=
，c=
，
于是，对于n=1，2，3都有
(
)3+(
)3+(
)3+…+(
)3=
=
（*）成立．
下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n，（*）式都成立．
（1）当n=1时，由上述知，（*）成立．
（2）假设n=k（k≥1）时，（*）成立，
即(
)3+(
)3+(
)3+…+(
)3=
那么当n=k+1时，
(
)3+(
)3+(
)3+…+(
)3+(
)3
=(
)3×[(
)3+(
)3+(
)3+…+(
)3]+(
)3
=(
)3×
+(
)3
=
+1=
=
由此可知，当n=k+1时，（*）式也成立．
综上所述，当a=
，b=
，c=
时题设的等式对于一切正整数n都成立．
在等式(
| 1 |
| n |
| 2 |
| n |
| 3 |
| n |
| n |
| n |
| an2+bn+c |
| n |
令n=1，得1=a+b+c ①
令n=2，得(
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 2 |
| c |
| 2 |
令n=3，得(
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| a×32+b×3+c |
| 3 |
| c |
| 3 |
由①②③解得a=
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
于是，对于n=1，2，3都有
(
| 1 |
| n |
| 2 |
| n |
| 3 |
| n |
| n |
| n |
| ||||||
| n |
| (n+1)2 |
| 4n |
下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n，（*）式都成立．
（1）当n=1时，由上述知，（*）成立．
（2）假设n=k（k≥1）时，（*）成立，
即(
| 1 |
| k |
| 2 |
| k |
| 3 |
| k |
| k |
| k |
| (k+1)2 |
| 4k |
那么当n=k+1时，
(
| 1 |
| k+1 |
| 2 |
| k+1 |
| 3 |
| k+1 |
| k |
| k+1 |
| k+1 |
| k+1 |
=(
| k |
| k+1 |
| 1 |
| k |
| 2 |
| k |
| 3 |
| k |
| k |
| k |
| k+1 |
| k+1 |
=(
| k |
| k+1 |
| (k+1)2 |
| 4k |
| k+1 |
| k+1 |
=
| k2 |
| 4(k+1) |
| (k+2)2 |
| 4(k+1) |
| [(k+1)+1]2 |
| 4(k+1) |
由此可知，当n=k+1时，（*）式也成立．
综上所述，当a=
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
点评：本题主要考查研究存在性问题和数学归纳法，对存在性问题先假设存在，再证明是否符合条件，数学归纳法的关键是递推环节，要符合假设的模型才能成立．
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