Question

已知函数f(x)=2sin2(

π

4

+x)-

3

cos2x-1   x∈[

π

4

，

π

2

]
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若不等式|f（x）-m|＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为

2sin(2x- π 3 )

，由 2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围即得f（x）的单调递增区间．
（2）不等式|f（x）-m|＜2，即 m-2＜f（x）＜m+2，由x的范围求得角的范围，再利用正弦函数的定义域值域求得 1≤f（x）≤2，结合题意得到m-2＜1 且 m+2＞2，由此求得实数m的取值范围．

解答：解：（1）f(x)=2sin2(

π

4

+x) -

3

cos2x -1=-cos（

π

2

+2x）-

3

cos2x=sin2x-

3

cos2x=

2sin(2x- π 3 )

．
由 2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得 kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，，k∈z．
再由x∈[

π

4

，

π

2

]，可得 x∈[

π

4

，

5π

12

]，故f（x）的单调递增区间 [

π

4

，

5π

12

]．
（2）不等式|f（x）-m|＜2，即 m-2＜f（x）＜m+2．
而x∈[

π

4

，

π

2

] 时，

π

6

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，∴

1

2

≤sin（2x-

π

3

）≤1，1≤f（x）≤2．
∵不等式|f（x）-m|＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，
∴m-2＜1 且 m+2＞2，
解得 0＜m＜3，故实数m的取值范围为（0，3）．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的单调性，函数的恒成立问题，得到 m-2＜1 且 m+2＞2，是解题的难点．