Question

某公司生产的A型商品通过租赁柜台进入某商场销售. 第一年，商场为吸引厂家，决定免收该年管理费，因此，该年A型商品定价为每件70元，年销售量为12.7万件. 第二年，商场开始对该商品征收比率为m%的管理费（即销售100元要征收m元），于是该商品每件的定价提高，预计年销售量将减少m万件.

（Ⅰ）将第二年商场对该商品征收的管理费y（万元）表示成m的函数，并指出这个函数的定义域；

（Ⅱ）要使第二年商场在此项经营中收取的管理费不少于21万元，则商场对该商品征收管理费的比率m%的范围是多少？

（Ⅲ）第二年，商场在所收管理费不少于21万元的前提下，求使厂家获得最大销售金额时的m的值.

Answer 1

解：（Ⅰ）依题意，第二年该商品年销售量为（12.7－m）万件，销售价格为：

 

∴年销售收入为万元.

则商场该年对该商品征收的总管理费为m%（万元）

故所求函数为y=

由12.7－m>0及m>0得其定义域为{m|0<m<12.7}

（Ⅱ）由

化简得m²－13m+30≤0，即(m－3)(m－10) ≤0，解得3≤m≤10

故当比率为[3%，10%]内时，商场收取的管理费将不少于21万元. 

（Ⅲ）第二年，当商场收取的管理费不少于21万元时，厂家的销售收入为

 

∵为减函数，

∴（万元）

故当比率为3%时，厂家销售金额最大，且商场所收管理费又不少于21万元