Question

已知函数f（x）=lnx，g(x)=

1

2

x2，
（1）设函数F（x）=2g（x）-f（x），求F（x）的极小值．
（2）设函数F（x）=ag（x）-f（x），（a＞0），若F（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．
（3）若x₁＞x₂＞0，总有m[g（x₁）-g（x₂）]＞x₁f（x₁）-x₂f（x₂）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）F(x)=

a

2

x2-lnx，F′(x)=ax-

1

x

=

ax2-1

x

…（2分）
因a＞0时，令F′（x）≥0，则x≥

1 a

，故F（x）在(0，

1 a

)上单调递减，在(

1 a

，+∞)上单调递增，
故F（x）在（0，+∞）上的最小值为F(

1 a

)=

1

2

+

1

2

lna，…（4分）
（2）由（1）得：故F（x）在（0，+∞）上的最小值为F(

1 a

)=

1

2

+

1

2

lna＞0，…（5分）
解得a＞

1

e

，所以a取值范围是(

1

e

，+∞)…（6分）
（3）已知可转化为x₁＞x₂＞0时，mg（x₁）-x₁f（x₁）≥mg（x₂）-x₂f（x₂）恒成立，
令h(x)=mg(x)-xf(x)=

m

2

x2-xlnx，则h（x）为单调递增的函数，…（8分）
故h′（x）=mx-lnx-1≥0恒成立，即m≥

lnx+1

x

恒成立    …（10分）
令m(x)=

lnx+1

x

，则m′(x)=-

lnx

x2

，所以
当x∈（0，1）时，m′（x）＞0，m（x）单调递增
当x∈（1，+∞）时，m′（x）＜0，m（x）单调递减m（x）≤m（1）=1，故m≥1…（16分）