Question

已知A（4，0），N（1，0），若点P满足

AN

•

AP

=6|

PN

|．
（1）求点P的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线；
（2）求|

PN

|的取值范围；
（3）若M（-1，0），求∠MPN在[0，π]上的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设出点P（x，y），将

AN

•

AP

=6|

PN

|用坐标表示出来整理即得点P的轨迹方程；
（2）利用椭圆的第二定义建立关于|

PN

|的等式，将|

PN

|用坐标表示出来，即将|

PN

|表示成P的坐标的函数，利用函数的性质求即可．
（3）用余弦定理将∠MPN的余弦值表示成关于|

PN

|的函数，用函数的性质求求出角的取值范围．

解答：解：（1）设P（x，y），

AP

=（x-4，y），

PN

=（1-x，-y），

AN

=（-3，0），
∵

AN

•

AP

=6||，
∴-3（x-4）=6

(1-x)2+(-y)2

，即3x²+4y²=12．
∴

x2

4

+

y2

3

=1．∴P点的轨迹是以（-1，0）、（1，0）为焦点，长轴长为4的椭圆．
（2）N（1，0）为椭圆的右焦点，x=4为右准线，
设P（x₀，y₀），P到右准线的距离为d，d=4-x₀，

|PN|

d

=e=

1

2

，|PN|=

1

2

d=

4-x0

2

．
∵-2≤x₀≤2，∴1≤|PN|≤3．
当|PN|=1时，P（2，0）；当|PN|=3时，P（-2，0）．
（3）令|PN|=t（1≤t≤3），
则|PM|=4-t，|MN|=2，
cos∠MPN=

|PN|2+|PM|2-|MN|2

2|PN||PM|

=

t2+(4-t)2-4

2t(4-t)

=-1+

6

t(4-t)

．
由1≤t≤3，得3≤t（4-t）≤4，
∴

1

2

≤cos∠MPN≤1，
∴0≤∠MPN≤

π

3

．

点评：本题是递进式的一个题，此特点是后一问要用上前一问的结论，环环相扣，相当紧凑，本题运算量比较大，符号运算较多．