Question

已知两定点F₁（-，0），F₂（，0），满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点.

（1）求k的取值范围；

（2）如果|AB|=，且曲线E上存在点C，使，求m的值和△ABC的面积S.

 

 

Answer 1

解：（1）由双曲线的定义可知，曲线E是以F₁（，0）、F₂（，0）为焦点的双曲线的左支，且c=,a=1,易知b=1.

故曲线E的方程为x²-y²=1(x<0）.

设A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂),由题意建立方程组

消去y,得(1-k²)x²+2kx-2=0.

又已知直线与双曲线左支交于A、B两点，有

解得-<k<-1.

(2)因为|AB|=|x₁-x₂|

=·

=·

=.

依题意得=.

整理后得28k⁴-55k²+25=0.

∴k²=或k²=.

但<k<-1,∴k=-.

故直线AB的方程为.

设C（x_c,y_c）,由已知,得(x₁,y₁)+(x₂,y₂)=(mx_c,my_c),

∴(x_c,y_c)=(,)(m≠0).

又x₁+x₂==,y₁+y₂=k(x₁+x₂)-2===8,

∴点C(,).

将点C的坐标代入曲线E的方程，得-=1.

得m=±4.但当m=-4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意.

∴m=4,C点坐标为（-，2）.

C到AB的距离为.

∴△ABC的面积S=××=.

点评：本小题主要考查双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识以及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力.