题目内容

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知 $数学公式$ ．
（1）求角B的大小；
（2）设T=sin²A+sin²B+sin²C，求T的取值范围．

解：（1）∵在△ABC中，b²=a²+c²-2accosB，
∴b²-a²-c²=-2accosB，同理可得c²-a²-b²=-2abcosC
∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，…（3分）
∵sinC≠0，可得sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB，
∴2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA，…（5分）
∵sinA≠0，∴等式两边约去sinA，可得 $\text{[math]}$ ，
∵0＜B＜π，∴角B的大小 $\text{[math]}$ ． …（7分）
（2）∵B= $\text{[math]}$ ，sin²A= $\text{[math]}$ （1-cos2A），sin²C= $\text{[math]}$ （1-cos2C）
T=sin²A+sin²B+sin²C= $\text{[math]}$
∵A+C= $\text{[math]}$ ，可得2C= $\text{[math]}$ -2A，
∴cos2A+cos2C=cos2A+cos（ $\text{[math]}$ -2A）= $\text{[math]}$ cos2A- $\text{[math]}$ sinA=sin（ $\text{[math]}$ -A）
因此， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ sin（ $\text{[math]}$ -A）…（11分）
∵ $\text{[math]}$ ，可得- $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ -A＜ $\text{[math]}$ ，
∴-1≤sin（ $\text{[math]}$ -A） $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ sin（ $\text{[math]}$ -A）≤ $\text{[math]}$
因此，T=sin²A+sin²B+sin²C的取值范围为[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]…（14分）
分析：（1）根据余弦定理，将题中等式化简整理，可得sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB，称项化简得2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，在两边约去sinA得 $\text{[math]}$ ，结合三角形内角取值范围即可得到角B的大小；
（2）根据B= $\text{[math]}$ 代入，结合二倍角的余弦公式降次，再用辅助角公式合并可得T=sin²A+sin²B+sin²C= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ sin（ $\text{[math]}$ -A）．最后根据角A的取值范围，结合正弦函数的图象与性质，即可得到T的取值范围．
点评：本题在△ABC中给出边角关系式，求角B的大小并求三角正弦的平方和的取值范围．着重考查了利用正余弦定理解三角形、三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识，属于基础题．