Question

已知函数f(x)=

2x+1

x+a

(x≠-a，a≠

1

2

)
（1）求f（x）的反函数f^-1（x）；
（2）若f（x）=f^-1（x），求a的值．

Answer 1

分析：（1）根据求反函数的步骤，先用y表示出x，再交换两者的位置即可得到f（x）的反函数f^-1（x）；
（2）若f（x）=f^-1（x），由于两个函数是同一个函数，故可由同一性得到参数a的方程，解出a

解答：解：（1）f(x)=2+

1-2a

x+a

则y≠2∴y-2=

1-2a

x+a

，x+a=

1-2a

y-2

，x=

1-2a

y-2

-a
∴反函数f-1(x)=

1-2a

x-2

-a(x≠2)．
（2）由f（x）=f^-1（x），有2+

1-2a

x+a

=-a+

1-2a

x-2

即（a+2）（x-2）（x+a）=（a+2）（1-2a）
使上式对x≠2且x≠a都成立，则a=-2

点评：本题考查求反函数，解题的关键是理解反函数的定义，根据定义求出反函数，解答二中利用函数相同，根据同一性求出参数的方程求参，这是同一性的一种重要运用，题后要总结一下．