Question

【题目】已知函数， ．

⑴ 若曲线在点处的切线经过点，求实数的值；

⑵ 若函数在区间上单调，求实数的取值范围；

⑶ 设，若对， ，使得成立，求整数的最小值．

Answer 1

【答案】⑴⑵⑶

【解析】试题分析：（1）根据题意，对函数求导，由导数的几何意义分析可得曲线 在点处的切线方程，代入点，计算可得答案；
（2）由函数的导数与函数单调性的关系，分函数在（上单调增与单调减两种情况讨论，综合即可得答案；
（3）由题意得， 分析可得必有 ，对求导，对分类讨论即可得答案．

试题解析：

⑴由题意得， ，

， ，

曲线在点处的切线方程为，

代入点，得， .

⑵，

若函数在区间上单调递增，则在恒成立，

，得；

若函数在区间上单调递减，则在恒成立，

，得，

综上，实数的取值范围为；

⑶由题意得， ，

，

，即，

由，

当时， ，则不合题意；

当时，由，得或（舍去），

当时， ， 单调递减，

当时， ， 单调递增．

，即，

整理得， ，

设， ， 单调递增，

， 为偶数，

又 ， ，

，故整数的最小值为。