Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中O为正方形ABCD的中心，M为BB₁的中点，求证：
（1）D₁O∥平面A₁BC₁；
（2）D₁O⊥平面MAC．

Answer 1

分析：（1）连接BD，B₁D₁分别交AC，A₁C₁于O，证明BO 

∥ .

.

 D1O1，BO₁∥D₁O，推出D₁O∥平面A₁BC₁
（2）连接MO，设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，证明AC⊥平面BB₁D₁D，然后证明D₁O⊥平面MAC．

解答：证明：（1）连接BD，B₁D₁分别交AC，A₁C₁于O，O₁
在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，对角面BB₁D₁D为矩形
∵O，O₁分别是BD，B₁D₁的中点∴BO 

∥ .

.

 D1O1∴四边形BO₁D₁O为平行四边形∴BO₁∥D₁O
∵D₁O?平面A₁BC₁，BO₁?平面A₁BC₁∴D₁O∥平面A₁BC₁
（2）连接MO，设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，
在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，对角面BB₁D₁D为矩形且BB1=a，BD=

2

a
∵O，M分别是BD，BB₁的中点∴BM=

a

2

 ，  BO=OD=

2

2

a
∴

BM

OD

=

BO

DD1

=

2

2

由于Rt△MBO∽Rt△ODD₁∴∠BOM=∠DD₁O
∵在Rt△ODD₁中，∠DD₁O+∠D₁OD=90°
∴∠BOM+∠D₁OD=90°，即D₁O⊥MO在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中
∵DD₁⊥平面ABCD
∴DD₁⊥AC又∵AC⊥BD，DD₁∩BD=D∴AC⊥平面BB₁D₁D
∵D₁O?平面BB₁D₁D∴AC⊥D₁O又AC∩MO=O
∴D₁O⊥平面MAC．

点评：本题是中档题，考查直线与平面的垂直，直线与平面的平行，能够正确利用直线与平面平行的判断定理，直线与平面垂直的判断定理，是解题的关键．