题目内容
已知函数f（x）定义在区间(-1，1)上，f(
)=-1，对任意x，y∈（-1，1），恒有f(x)+f(y)=f(
)成立，又数列{an}满足a1=
，an+1=
．
（I）在（-1，1）内求一个实数t，使得f(t)=2f(
)；
（II）求证：数列{f（an）}是等比数列，并求f（an）的表达式；
（III）设cn=
bn+2，bn=
+
+
+…+
，是否存在m∈N*，使得对任意n∈N*，cn＜
lo
m-
log2m恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．
| 1 |
| 2 |
| x+y |
| 1+xy |
| 1 |
| 2 |
| 2a | ||
1+
|
（I）在（-1，1）内求一个实数t，使得f(t)=2f(
| 1 |
| 2 |
（II）求证：数列{f（an）}是等比数列，并求f（an）的表达式；
（III）设cn=
| n |
| 2 |
| 1 |
| f(a1) |
| 1 |
| f(a2) |
| 1 |
| f(a3) |
| 1 |
| f(an) |
| 6 |
| 7 |
| g | 22 |
| 18 |
| 7 |
（I）f(t)=2f(
)=f(
)+f(
)=f(
)=f(
)，
∴t=
…（2分）
（II）∵f(a1)=f(
)=-1，
且f(x)+f(y)=f(
)，
∴f(an+1)=f(
)=f(an)+f(an)=2f(an)，
即
=2
∴{f（an）}是以-1为首项，2为公比的等比数列，
∴f(an)=-2n-1．…（6分）
（III）由（II）得，bn=-(1+
+
+…+
)=-
=-2+
…（8分）
∴cn=
bn+2=-n+
+2，…（9分）
则cn+1-cn=-(n+1)+
+2-[-n+
+2]
=
-
-1
=
-1＜0，
∴{cn}是减数列，
∴cn≤c1=-1+
+2=
，
要使7cn＜6log2 2m-18log2m对任意n∈N*恒成立，
只需6log22m-18log2m＞
，
即4log 22m-12log2m-7＞0，
故log2m＜-
，或log2m＞
，
∴0＜m＜
，或m＞8
≈11.31，
∴当m≥12，且m∈N*时，7cn＜6log2 2m-18log2m对任意n∈N*恒成立，
∴m的最小正整数值为12．
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||||
1+
|
| 4 |
| 5 |
∴t=
| 4 |
| 5 |
（II）∵f(a1)=f(
| 1 |
| 2 |
且f(x)+f(y)=f(
| x+y |
| 1+xy |
∴f(an+1)=f(
| 2an | ||
1+
|
即
| f(an+1) |
| f(an) |
∴{f（an）}是以-1为首项，2为公比的等比数列，
∴f(an)=-2n-1．…（6分）
（III）由（II）得，bn=-(1+
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 22 |
| 1 |
| 2n-1 |
1-
| ||
1-
|
| 1 |
| 2n-1 |
∴cn=
| n |
| 2 |
| n |
| 2n |
则cn+1-cn=-(n+1)+
| n+1 |
| 2n+1 |
| n |
| 2n |
=
| n+1 |
| 2n+1 |
| n |
| 2n |
=
| 1-n |
| 2n+1 |
∴{cn}是减数列，
∴cn≤c1=-1+
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
要使7cn＜6log2 2m-18log2m对任意n∈N*恒成立，
只需6log22m-18log2m＞
| 21 |
| 2 |
即4log 22m-12log2m-7＞0，
故log2m＜-
| 1 |
| 2 |
| 7 |
| 2 |
∴0＜m＜
| ||
| 2 |
| 2 |
∴当m≥12，且m∈N*时，7cn＜6log2 2m-18log2m对任意n∈N*恒成立，
∴m的最小正整数值为12．
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