题目内容
已知函数f(x)=
．
（1）当a=0，b=1时，求f（x）的值域；
（2）当a＜0，b=0时，判断并证明f（x）在（1，+∞）上的单调性．
| ax+b | x2+1 |
（1）当a=0，b=1时，求f（x）的值域；
（2）当a＜0，b=0时，判断并证明f（x）在（1，+∞）上的单调性．
分析：（1）a=0，b=1时，利用x2+1≥1，求出f（x）的值域；
（2）a＜0，b=0时，用单调性定义判定并证明f（x）在（1，+∞）上是增函数．
（2）a＜0，b=0时，用单调性定义判定并证明f（x）在（1，+∞）上是增函数．
解答：解：（1）∵a=0，b=1时，
f(x)=
，
∵x2+1≥1，
∴
≤1，
∴f（x）的值域为（0，1]；
（2）a＜0，b=0时，f(x)=
在（1，+∞）上是增函数，
证明：设1＜x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=
-
=
=
=
，
∵a＜0，x2-x1＞0，x1x2-1＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，
∴f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（1，+∞）上是增函数．
f(x)=
| 1 |
| x2+1 |
∵x2+1≥1，
∴
| 1 |
| x2+1 |
∴f（x）的值域为（0，1]；
（2）a＜0，b=0时，f(x)=
| ax |
| x2+1 |
证明：设1＜x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=
| ax1 |
| x12+1 |
| ax2 |
| x22+1 |
=
| ax1(x22+1)-ax2(x12+1) |
| (x12+1)(x22+1) |
| a(x1x22+x1-x12x2-x2) |
| (x12+1)(x22+1) |
| a(x2-x1)(x1x2-1) |
| (x12+1)(x22+1) |
∵a＜0，x2-x1＞0，x1x2-1＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，
∴f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（1，+∞）上是增函数．
点评：本题考查了求函数的值域以及函数的单调性的判定与证明问题，是基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=a-
，若f（x）为奇函数，则a=（ ）
| 1 |
| 2x+1 |
A、
| ||
| B、2 | ||
C、
| ||
| D、3 |