Question

设定义域为（0，+∞）的单调函数f（x），若对任意的x∈（0，+∞），都有f(f(x)+log

1

2

x)=6，则方程f（x）=2^x解的个数是（　　）

A．3

B．2

C．1

D．0

Answer 1

分析：根据f（x）为（0，+∞）的单调函数，对任意的x∈（0，+∞），都有f(f(x)+log

1

2

x)=6，可求得函数的解析式f（x）=4+log₂x，在同一坐标系中，作出f（x）=4+log₂x与g（x）=2^x的图象，可得交点的个数，从而可求方程f（x）=2^x解的个数．

解答：解：∵f（x）为（0，+∞）的单调函数，f(f(x)+log

1

2

x)=6
令f(x)+log

1

2

x=t，∴t为定值（单调）
∴f（x）=log₂x+t 且f（t）=6
∴log₂t+t=6，
∴log₂t=6-t
∴t=4
∴f（x）=4+log₂x
f（x）=4+log₂x是由y=log₂x的图象向上平移4个单位，
在同一坐标系中，作出f（x）=4+log₂x与g（x）=2^x的图象，可知交点的个数为2个
∴方程f（x）=2^x解的个数是2个
故选B．

点评：本题考查方程解的个数，考查函数的单调性，解题的关键是确定函数的解析式，利用数形结合法求交点的个数．