Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移

π

6

个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的对称轴方程；
（3）当x∈[0，

π

2

]时，方程f（x）=2a-3有两个不等的实根x₁，x₂，求实数a的取值范围，并求此时x₁+x₂的值．

Answer 1

分析：（1）由图知，A=2，由T=π，可求得ω，由2sin（2×

π

6

+φ）=2可求得φ；
（2）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求得g（x）=2sin（

x

2

-

π

6

），由正弦函数的性质即可求得g（x）的对称轴方程；
（3）由x∈[0，

π

2

]⇒2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，方程f（x）=2a-3有两个不等实根时，y=f（x）的图象与直线y=2a-3有两个不同的交点，从而可求得a的取值范围；
（法一）当x∈[0，

π

2

]，时，利用f（x₁）=f（x₂），即可求得x₁+x₂的值；
（法二）令2x+

π

6

=

π

2

+kπ，可求得x=

kπ

2

+

π

6

，（k∈Z），利用f（x）的对称轴方程为x=

kπ

2

+

π

6

即可求得x₁+x₂的值．

解答：解：（1）由图知，A=2．--------（1分）
T=π，ω=

2π

T

=

2π

π

=2-----（2分）
由2sin（2×

π

6

+φ）=2，即sin（

π

3

+φ）=1，故

π

3

+φ=

π

2

+2kπ，k∈Z，
所以φ=

π

6

+2kπ，k∈Z，
又φ∈（0，

π

2

），所以φ=

π

6

---（3分）
故f（x）=2sin（2x+

π

6

）-------（4分）
（2）将f（x）的图象向右平移

π

6

个单位后，得到f（x-

π

6

）的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，
纵坐标不变，得到f（

x

4

-

π

6

）的图象，
所以g（x）=f（

x

4

-

π

6

）=2sin[2（

x

4

-

π

6

）+

π

6

）]=2sin（

x

2

-

π

6

）-------（6分）
令

x

2

-

π

6

=

π

2

+kπ，--------（7分）
则x=

4π

3

+2kπ（k∈Z），所以g（x）的对称轴方程为x=

4π

3

+2kπ（k∈Z），..-（8分）
（3）∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]--------（9分）
∴当方程f（x）=2a-3有两个不等实根时，y=f（x）的图象与直线y=2a-3有两个不同的交点
∴1≤2a-3＜2--------（11分）
∴2≤a＜

5

2

--------（12分）
（法一）当x∈[0，

π

2

]，时，f（x₁）=f（x₂），
所以（2x₁+

π

6

）+（2x₂+

π

6

）=π，
所以x₁+x₂=

π

3

；
（法二）令2x+

π

6

=

π

2

+kπ，则x=

kπ

2

+

π

6

，（k∈Z）
所以f（x）的对称轴方程为x=

kπ

2

+

π

6

，（k∈Z）
又∵x∈[0，

π

2

]，
∴

x1+x2

2

=

π

6

，所以x₁+x₂=

π

3

；--（14分）

点评：本题考查：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换及三角函数性质的综合应用，属于难题．