Question

已知函数是奇函数，
（1）求实数a和b的值；
（2）判断函数y=f（x）在（1，+∞）的单调性，并利用定义加以证明．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=是奇函数，
∴f（0）==0，
∴a=0

又因f（-x）=-f（x），即，
∴b=0

（2）函数y=f（x）在（1，+∞）单调递减

证明：任取x₁，x₂∈（1，+∞），设x₁＜x₂，
则
=

∵x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0；
∵x₁＞1，x₂＞1，
∴1-x₁x₂＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂）

函数y=f（x）在（1，+∞）单调递减

分析：（1）由题意可得f（0）=0，从而可求得a，又f（x）是奇函数，可求得b；
（2）由函数单调性的定义判断即可．任取x₁，x₂∈（1，+∞），设x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂）后化积，判断符号即可．
点评：本题考查函数的奇偶性与单调性的应用，着重考查函数的奇偶性与单调性的定义的应用，突出转化思想的考查，属于中档题．