Question

已知函数f(x)=2cos

x

2

(

3

cos

x

2

-sin

x

2

)．
（1）设θ∈[-

π

2

，  

π

2

]，且f(θ)=

3

+1，求θ的值；
（2）在△ABC中，AB=1，f(C)=

3

+1，且△ABC的面积为

3

2

，求sinA+sinB的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式及辅助角公式对函数化简可得，f（x）=2cos（x+

π

6

）+

3

，由f(θ)=

3

+1可得，cos（θ+

π

6

）=

1

2

，结合已知θ∈[-

π

2

，

π

2

]可求θ的值；
（2）由（1）知C=

π

6

由已知面积

3

2

可得，

3

2

=

1

2

absin

π

6

从而有ab=2

3

由余弦定理得1=a2+b2-2abcos

π

6

=a2+b2-6可得a²+b²=再由正弦定理得

sinA

a

=

sinB

b

=

sinC

1

=

1

2

可求．

解答：解：（1）f(x)=2

3

cos2

x

2

-2sin

x

2

cos

x

2

=

3

(1+cosx)-sinx=2cos(x+

π

6

)+

3

．（3分）
由2cos(θ+

π

6

)+

3

=

3

+1  得  cos(θ+

π

6

)=

1

2

（5分）
于是θ+

π

6

=2kπ±

π

3

（k∈Z）  因为  θ∈[-

π

2

，

π

2

]    所以  θ=-

π

2

或

π

6

（7分）
（2）因为C∈（0，π），由（1）知C=

π

6

．（9分）
因为△ABC的面积为

3

2

，所以

3

2

=

1

2

absin

π

6

，于是ab=2

3

．①
在△ABC中，设内角A、B的对边分别是a，b．
由余弦定理得1=a2+b2-2abcos

π

6

=a2+b2-6，所以a²+b²=7．②
由①②可得

a=2 b= 3

或

a= 3 b=2.

于是a+b=2+

3

．（12分）
由正弦定理得

sinA

a

=

sinB

b

=

sinC

1

=

1

2

，
所以sinA+sinB=

1

2

(a+b)=1+

3

2

．（14分）

点评：（1）考查了二倍角公式的变形形式cos2α=

1+cos2α

2

，sin2α=

1-cos2α

2

的应用，辅助角公式asinα+bcosα=

a2+b2

sin(α+θ)(θ为辅助角)可以把函数化为一个角的三角函数，进而可以研究三角函数的性
（2）考查了正弦定理及余弦定理及三角形的面积公式的综合运用．