题目内容

在△ABC中，a，b，c分别是三内角A，B，C所对应的三边，已知b²+c²=a²+bc
（1）求角A的大小；
（2）若 $数学公式$ ，试判断△ABC的形状．

解：（1）在△ABC中，∵b²+c²=a²+bc，
∴b²+c²-a²=bc，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴cosA= $\text{[math]}$ ，
又A是三角形的内角，故A= $\text{[math]}$
（2）∵ $\text{[math]}$ ，
∴1-cosB+1-cosC=1∴cosB+cosC=1，
由（1）的结论知，A= $\text{[math]}$ ，故B+C= $\text{[math]}$
∴cosB+cos（ $\text{[math]}$ -B）=1，
即cosB+cos $\text{[math]}$ cosB+sin $\text{[math]}$ sinB=1，
即 $\text{[math]}$
∴sin（B+ $\text{[math]}$ ）=1，
又0＜B＜ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ＜B+ $\text{[math]}$ ＜π
∴B+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴B= $\text{[math]}$ ，C= $\text{[math]}$
故△ABC是等边三角形．
分析：（1）将b²+c²=a²+bc?b²+c²-a²=bc? $\text{[math]}$ ，由同性结合余弦定理知cosA= $\text{[math]}$ ，可求出A的大小；
（2）用半角公式对 $\text{[math]}$ 进行变形，其可变为cosB+cosC=1，又由（1）的结论知，A= $\text{[math]}$ ，故B+C= $\text{[math]}$ ，与cosB+cosC=1联立可求得B，C的值，由角判断△ABC的形状．
点评：本题考点是三角形中的余弦定理，考查余弦定理与三角恒等变换公式，是解三角形中综合性较强的一道题．