Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足

an-1

Sn

=

a-1

a

（a＞0，且a≠1）．数列 {b_n}满足b_n=a_n•log₂a_n
（1）求数列{a_n}的通项．
（2）当a=2时，求数列 {b_n}前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由Sn-1=

a

a-1

（a_n-1-1），Sn-1=

a

a-1

（a_n-1-1），相减得

an

an-1

=a，利用等比数列的通项公式可求a_n
（2）由bn=n•2n．则T_n=1×2+2×2²+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ，利用错位相减法可求

解答：解：（1）由题意可知当n=1时，a₁=a
当n≥2时，Sn=

a

a-1

(an-1) ①
Sn-1=

a

a-1

（a_n-1-1）（n≥2）②
①-②得

an

an-1

=a
所以数列{a_n}是等比数列   
 所以an=an
（2）因为b_n=a_nlog₂a_n且a=2
所bn=n•2n
所以T_n=1×2+2×2²+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ     
2T_n=1×2²+2×2³+…（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹   
两式相减可得，-Tn=2+22+23+…+2n-n•2n+1
=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1
=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹
∴Tn=(n-1)2n+1+2

点评：本题主要利用数列的递推公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

求解数列的通项公式，等比数列的通项公式的应用，数列求和的错误相减的应用，属于综合试题