Question

（1）设f(x)是定义在实数集R上的函数，满足f(0)=1,且对任意实数a、b,有f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1),求f(x);

（2）函数f(x) (x∈(-1,1))满足2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求f(x).

Answer 1

（1）f(x)=x²+x+1（2）f(x)=lg(1+x-x²-x³)(-1＜x＜1)

解析:

（1）依题意令a=b=x,则f(x-x)=f(x)-x(2x-x+1),

即f(0)=f(x)-x²-x,而f(0)=1,∴f(x)=x²+x+1.

（2）以-x代x,依题意有2f(-x)-f(x)=lg(1-x)                                        ①

又2f(x)-f(-x)=lg(1+x)                                        ②

两式联立消去f(-x)得3f(x)=lg(1-x)+2lg(1+x),

∴f(x)=lg(1+x-x²-x³)(-1＜x＜1).