Question

有定点P（6，4）及定直线l：y=4x，Q是l上在第一象限内的点．PQ交x轴的正半轴于M点，问点Q在什么位置时，△OMQ的面积最小，并求出最小值．

Answer 1

分析：设出Q点坐标，写出直线PQ的方程，令x=0求出OM，利用三角形OMQ的OM上的高为Q的纵坐标，则根据三角形的面积公式表示出面积，然后利用基本不等式求出面积的最小值即可．

解答：解：设Q（a，4a），则直线PQ的方程为y-4=

4-4a

6-a

（x-6），
令y=0，得到x=OM=

5a

a-1

，
所以当a＞1，即a+1＞0，a-1＞0时，
△OMQ的面积S=

1

2

×

5a

a-1

×4a=

10a2-10+10

a-1

=10（a+1）+

10

a-1

≥20

a+1 a-1

当且仅当10（a+1）=

10

a-1

，即a=

2

时取等号，
所以当Q的坐标为（

2

，4

2

）时，面积S的最小值为20

a+1 a-1

=20

2 +1 2 -1

=20（

2

+1），

点评：此题为一道中档题，要求学生灵活运用直线的一般式方程求值，灵活运用基本不等式求最值．构造面积的关系式是本题的突破点．