Question

13．已知函数f（x）=x²-2|x+a|+3a（a∈R）．
（1）若函数f（x）的图象关于y轴对称，求实数a的值；
（2）设a=-$\frac{1}{4}$，求f（x）的单调增区间；
（3）设函数g（x）=2^x，若对任意x₁≤0，存在x₂∈[-3，+∞]，有f（x₁）≥g（x₂）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由偶函数的定义，即可得到a=0；
（2）讨论x的范围，去绝对值，结合二次函数的对称轴和单调性，即可得到增区间；
（3）由指数函数的单调性可得g（x）的最小值，再由绝对值不等式可得-x²-3a+$\frac{1}{8}$≤2x+2a≤x²+3a-$\frac{1}{8}$，运用参数分离和二次函数的最值，即可得到a的范围．

解答 解：（1）函数f（x）的图象关于y轴对称，
即为f（x）为偶函数，即有f（-x）=f（x），
f（-x）=（-x）²-2|-x+a|+3a=x²-2|x+a|+3a，
即有|a-x|=|a+x|对x∈R恒成立，
即有a=0；
（2）当a=-$\frac{1}{4}$时，f（x）=x²-2|x-$\frac{1}{4}$|-$\frac{3}{4}$，
当x≥$\frac{1}{4}$时，f（x）=x²-2x-$\frac{1}{4}$=（x-1）²-$\frac{5}{4}$，
对称轴为x=1，即有f（x）在（1，+∞）递增；
当x＜$\frac{1}{4}$时，f（x）=x²+2x-$\frac{5}{4}$=（x+1）²-$\frac{9}{4}$，
对称轴为x=-1，即有f（x）在（-1，$\frac{1}{4}$）递增．
综上可得，f（x）的增区间为（-1，$\frac{1}{4}$），（1，+∞）；
（3）函数g（x）=2^x在[-3，+∞）的值域为[$\frac{1}{8}$，+∞），
由题意可得x²-2|x+a|+3a≥$\frac{1}{8}$对x≤0恒成立，
即有2|x+a|≤x²+3a-$\frac{1}{8}$，即为-x²-3a+$\frac{1}{8}$≤2x+2a≤x²+3a-$\frac{1}{8}$，
即有5a≥-x²-2x+$\frac{1}{8}$，且a≥-x²+2x+$\frac{1}{8}$，
由-x²-2x+$\frac{1}{8}$=-（x+1）²+$\frac{9}{8}$，-x²+2x+$\frac{1}{8}$=-（x-1）²+$\frac{9}{8}$，
由于x≤0，-x²-2x+$\frac{1}{8}$在x=-1处取得最大值$\frac{9}{8}$，
-x²+2x+$\frac{1}{8}$在x=0处取得最大值$\frac{1}{8}$．
即有5a≥$\frac{9}{8}$，且a≥$\frac{1}{8}$，
解得a≥$\frac{9}{40}$．

点评 本题考查函数的性质和运用，主要考查函数的对称性和单调性，及不等式恒成立与存在性问题的解法，考查运算能力，属于中档题．