Question

已知f（x）=（1+mx）²⁰¹³=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₃x²⁰¹³（x∈R）
（1）若m=

2

π

∫

1 -1

(sinx+

1-x2

)dx，求m、a₀及a₁的值；
（2）若离散型随机变量X～B（4，

1

2

）且m=EX时，令b_n=（-1）ⁿna_n，求数列{b_n}的前2013项的和T₂₀₁₃．

Answer 1

分析：（1）求出原函数，即可求得积分，利用赋值法，可求a₀及a₁的值；
（2）利用二项分布的期望公式，可求m的值，利用函数关系式，两边求导，再赋值，即可得到结论．

解答：解：（1）∵m=

2

π

∫

1 -1

(sinx+

1-x2

)dx
∴m=

2

π

∫

1 -1

sinxdx+

2

π

∫

1 -1

1-x2

dx=

2

π

(-cosx)

∫

1 -1

+

2

π

×

π

2

=1，
则：f(x)=(1+x)2013=a0+a1x+a2x2+…+a2013x2013，
令x=0得：a₀=1，且a1=

C

1 2013

=2013；
（2）∵离散型随机变量X～B(4，

1

2

)且m=EX
∴m=2，
∴f(x)=(1+2x)2013=a0+a1x+a2x2+…+a2013x2013
则两边取导得：4026(1+2x)2012=a1+2a2x+3a3x2+…+2013a2013x2012
令x=-1得：4026（1-2）²⁰¹²=a₁-2a₂+3a₃-4a₄…+2013a₂₀₁₃
即：-a₁+2a₂-3a₃+4a₄-…-2013a₂₀₁₃=-4026；
∴数列{b_n}的前2013项的和T₂₀₁₃=-4026．

点评：本题考查定积分，考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．