Question

如图,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形,AB=8,AD=,侧面PAD为等边三角形,并且与底面所成二面角为60°.

(1)求四棱锥P—ABCD的体积;

(2)求证:PA⊥BD.

Answer 1

(1)解:如图,取AD的中点E,连结PE,则PE⊥AD.

作PO⊥平面ABCD,垂足为O,连结OE.

根据三垂线定理的逆定理得OE⊥AD,

∴∠PEO为侧面PAD与底面所成二面角的平面角.

由已知条件可知∠PEO=60°,PE=6,

∴PO=.

四棱锥P—ABCD的体积V_P—ABCD=×8×=96.

(2)证明:如图,连结AO,延长AO交BD于F.

通过计算可得EO=3,AE=

又知AD=,AB=8,

∴.

∴Rt△AEO∽Rt△BAD,

即∠EAO=∠ABD.

∴∠EAO+∠ADF=90°,AF⊥BD.

∵直线AF为直线PA在平面ABCD内的射影,

∴PA⊥BD.