题目内容

已知数列{an}满足a1=5，a2=5，an+1=an+6an-1（n≥2）．
（1）求证：{an+1+2an}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）设3nbn=n（3n-an），且|b1|+|b2|++|bn|＜m对于n∈N*恒成立，求m的取值范围．
分析：（1）由题设条件先推导出an+1+2an=3（an+2an-1）（n≥2），a2+2a1=15，由此可知数列{an+1+2an}是以15为首项，3为公比的等比数列．
（2）由an+1+2an=5•3n和待定系数法能够求出数列{an}的通项公式．
（3）由3nbn=n（-2）n，可知bn=n（-
2
3
）n，令Sn=|b1|+|b2|+…+|bn|=（
2
3
）2+2（
2
3
）3+…+（n-1）（
2
3
）n+n（
2
3
）n+1，得Sn=6[1-（
2
3
）n]-3n（
2
3
）n+1＜6，由此能求出m的取值范围．
解答：解：（1）由an+1=an+6an-1，an+1+2an=3（an+2an-1）（n≥2）
∵a1=5，a2=5∴a2+2a1=15
故数列{an+1+2an}是以15为首项，3为公比的等比数列（5分）
（2）由（1）得an+1+2an=5•3n由待定系数法可得（an+1-3n+1）=-2（an-3n）
即an-3n=2（-2）n-1故an=3n+2（-2）n-1=3n-（-2）n（9分）
（3）由3nbn=n（3n-an）=n[3n-3n+（-2）n]=n（-2）n，
∴bn=n（-
2
3
）n
令Sn=|b1|+|b2|+…+|bn|
=（-
2
3
）+2（
2
3
）2+3（
2
3
）3+…+n（
2
3
）nSn
=（
2
3
）2+2（
2
3
）3+…+（n-1）（
2
3
）n+n（
2
3
）n+1（11分）
得Sn=+（
2
3
）2+（
2
3
）3+…+（
2
3
）n-n（
2
3
）n+1
=
2
3
[1-(
2
3
)n]
1-
2
3
-n（
2
3
）n+1
=2[1-（
2
3
）n]-n（
2
3
）n+1
∴Sn=6[1-（
2
3
）n]-3n（
2
3
）n+1＜6
要使得|b1|+|b2|+…+|bn|＜m对于n∈N*恒成立，只须m≥6（14分）
点评：本题综合考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细求解，注意递推式的应用．
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}满足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若数列{bn}满足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，试证明数列bn-1是等比数列；
（2）求数列{anbn}的前n项和Sn；
（3）数列{an-bn}是否存在最大项，如果存在求出，若不存在说明理由．
已知数列{an}满足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1则{an}的通项公式
 
．
已知数列{an}满足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1•a2•…an＜2•n！
已知数列{an}满足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k项的和S3k（用k，a表示）
（2012•北京模拟）已知数列{an}满足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通项公式an等于
2n-1
2n-1
．

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