Question

( 12分)如图，在四棱锥中,侧面是正三角形,底面是边长为2的正方形,侧面平面为的中点.

①求证：平面；
②求直线与平面所成角的正切值.

Answer 1

(Ⅰ)证明:见解析；(Ⅱ),即求.

解析试题分析：（Ⅰ）证明AF⊥平面PCD，利用线面垂直的判定定理，只需证明AF⊥PD，CD⊥AF即可；
（Ⅱ）证明∠PBF为直线PB与平面ABF所成的角，求出PF，BF的长，即可得出结论．
(Ⅰ)证明:如图,由是正三角形,为中点,所以,又因为平面平面,

且面面;
又底面为正方形,即
所以平面,而平面,
所以,且,
所以平面.………………6分;
(Ⅱ)由(Ⅰ)证明可知,平面,
所以平面
所以,又由(Ⅰ)知,且,
所以平面,
即为直线与平面所成的角…………………9分
且,易知,中,,
所以,即求.………………12分
考点：本题考查线面垂直，考查线面角，属于中档题．
点评：解题的关键是正确运用线面垂直的判定，作出线面角.