Question

（2011•武汉模拟）已知函数f(x)=sin(2x+

π

4

)cosφ+cos(2x+

π

4

)sinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）的图象关于直线x=

π

6

对称．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-

π

2

，0]上的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用两角和的正弦函数化简函数的表达式，通过x=

π

6

时函数取得最值，结合0＜φ＜π，即可求φ的值；
（Ⅱ）结合第一问，x∈[-

π

2

，0]，求出2x+

7π

6

的范围，然后求出函数的最小值．

解答：解：（Ⅰ）函数f(x)=sin(2x+

π

4

)cosφ+cos(2x+

π

4

)sinφ=sin(2x+

π

4

+φ)，
因为函数的图象关于直线x=

π

6

对称，所以2×

π

6

+

π

4

+φ=kπ+

π

2

，k∈Z，
因为0＜φ＜π，所以φ=

11π

12

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f(x)=sin(2x+

7π

6

)，因为x∈[-

π

2

，0]，
则2x+

7π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，当2x+

7π

6

=

7π

6

时，函数取得最小值：-

1

2

．

点评：本题是中档题，考查两角和的正弦函数的应用，已知三角函数的角的范围，求解函数的最小值的方法，考查计算能力．