Question

已知函数f(x)=log

1

2

[(

1

2

)x-1]，
（Ⅰ）求f（x）的定义域； 
（Ⅱ）讨论f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）由(

1

2

)x-1＞0，解得x＜0，从而求得f（x）的定义域．
（2）利用函数的单调性的定义证明f（x）在（-∞，0）上为增函数．

解答：解：（1）由(

1

2

)x-1＞0，解得x＜0，
∴f（x）的定义域为（-∞，0）．
（2）证明：设x₁，x₂∈（-∞，0）且x₁＜x₂，
∴(

1

2

)x2＜(

1

2

)x1，则0＜(

1

2

)x2-1＜(

1

2

)x1-1，
因此：log

1

2

[(

1

2

)x2-1]＞log

1

2

[(

1

2

)x1-1]，
即：f（x₁）＜f（x₂），则f（x）在（-∞，0）上为增函数．

点评：本题主要考查复合函数的单调性，函数的单调性的判断和证明，属于中档题．