Question

已知⊙C过点P（1，1），且与⊙M：（x+2）²+（y+2）²=r²（r＞0）关于直线x+y+2=0对称．（Ⅰ）求⊙C的方程；
（Ⅱ）设Q为⊙C上的一个动点，求的最小值；
（Ⅲ）过点P作两条相异直线分别与⊙C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）设圆心C（a，b），则，解得
则圆C的方程为x²+y²=r²，
将点P的坐标代入得r²=2，
故圆C的方程为x²+y²=2
（Ⅱ）设Q（x，y），则x²+y²=2，

=x²+y²+x+y﹣4=x+y﹣2，
令x=cosθ，y=sinθ，
∴=cosθ+sinθ﹣2=2sin（θ+）﹣2，
∴（θ+）=2kπ﹣时，2sin（θ+）=﹣1，
所以的最小值为﹣2﹣2=﹣4．
（Ⅲ）由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，
故可设PA：y﹣1=k（x﹣1），PB：y﹣1=﹣k（x﹣1），
由，得（1+k²）x²+2k（1﹣k）x+（1﹣k）²﹣2=0
因为点P的横坐标x=1一定是该方程的解，
故可得
同理，，
所以=k_OP  ，
所以，直线AB和OP一定平行