Question

设函数f（x）=ax+

x

x-1

（x＞1），若a是从-1，0，1，2四数中任取一个，b是从1，2，3，4，5五数中任取一个，那么f（x）＞b恒成立的概率为（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  7

  20

• C．

  2

  5

• D．

  9

  20

Answer 1

分析：当a=-1时，经过检验，不满足f（x）＞b恒成立．当a＞0时，先把f（x）的解析式变形，用分离常数法，然后用均值不等式求出最小值，一一列举可得，试验发生包含的所有事件有20个，满足条件的事件有9个，列举出结果，从而求得f（x）＞b恒成立的概率．

解答：解：当a=-1时，函数f（x）=ax+

x

x-1

=-x+

1

x-1

=-x+

x-1+1

x-1

=1-x+

1

x-1

，由于函数f（x）的导数f′（x）=-1-

1

(x-1)2

＜0，
故函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，f（2）=0，故当x＞2时，f（x）＜0．
而b是从1，2，3，4，5五数中任取一个，显然不满足当x＞1时，f（x）＞b恒成立．
∵函数f（x）=ax+

x

x-1

（x＞1），当a＞0时，
∴f（x）=ax+

x-1+1

x-1

=ax+1+

1

x-1

=a（x-1）+

1

x-1

+a+1≥2

a

+a+1=(

a

+1)2，
当且仅当a（x-1）+

1

x-1

时，等号成立，故f（x）min=(

a

+1)2．
于是f（x）＞b恒成立就转化为(

a

+1)2＞b，
当a=0时，函数f（x）=1+

1

x-1

＞1，由f（x）＞b恒成立可得，只有b=1．
设事件A：“f（x）＞b恒成立”，则基本事件总数（a，b）为20个：
（-1，1）、（-1，2）、（-1，3）、（-1，4）、（-1，5）、
（0，1），（0，2），（0，3），（0，4）；（0，5），（1，1），（1，2），（1，3），
（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）．
事件A包含事件：（0，1），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），
（2，4），（2，5），共9个．
故f（x）＞b恒成立的概率为

9

20

，
故选D．

点评：本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，在使用古典概型的概率公式时，应该注意：（1）要判断该概率模型是不是古典概型；（2）要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数；当解析式中含有分式，且分子分母是齐次的，注意运用分离常数法来进行式子的变形，在使用均值不等式应注意一定，二正，三相等，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．