Question

已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x的内接圆柱，
（1）求此圆柱的侧面积表达式；
（2）x为何值时，圆柱的侧面积最大？

Answer 1

分析：（1）由题意，圆柱的高已知为x，故求出圆柱底面的半径r关于x的表达式，再由公式求出侧面积的表达式，由图知，求底面半径可利用过轴的截面建立比例关系

r

R

=

H-x

H

，从中解出底面半径表达式；
（2）由（1）S圆柱侧面=2πRx-

2πR

H

x2，此是一个关于圆柱高的二次函数，由二次函数的知识判断出函数的最值，即可得到圆柱侧面积的最大值，同时求出此时的x的值

解答：解：（1）过圆锥及内接的圆柱的轴作截面，如图：
因为

r

R

=

H-x

H

，所以r=R-

R

H

x，
从而S圆柱侧面=2πrx=2πRx-

2πR

H

x2．
（2）由（1）S圆柱侧面=2πRx-

2πR

H

x2
因为-

2πR

H

＜0，
所以当x=-

b

2a

=

2πR

4πR H

=

H

2

时，S_侧最大，
从而当x=

H

2

，即圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大．

点评：本题是一个旋转体中的最值问题，解题的关键是建立起圆柱侧面积的函数关系，利用函数的最值求侧面积的最值，本题的难点是作出旋转体的轴截面，由此截面上的比例关系将底面半径用高表示出来，从而由公式建立起侧面积关于高x的函数关系，这也是本题的重点，本题考查了数形结合的思想，函数的思想，利用函数求最值是函数的一个重要运用，