题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ ．
（1）当x∈[-2，2]时，求使f（x）＜a恒成立的a的取值范围；
（2）若方程x²-2ax-1=0的两根为α，β，证明：函数f（x）在[α，β]上是单调函数．

解：（1）由f（x）＜a得 $\text{[math]}$ ，即4x-4a＜ax²+4a，
∴ $\text{[math]}$ 时恒成立．
设 $\text{[math]}$ ，
由于x=0时，g（x）=0；x∈[-2，0）时，g（x）＜0；x∈（0，2]时，g（x）＞0，
故求函数 $\text{[math]}$ 在x∈[-2，2]上的最大值，只需求g（x）在x∈（0，2]的最大值，
由 $\text{[math]}$ ，可证明 $\text{[math]}$ 在x∈（0，2]上是减函数，
当x=2时y=x+ $\text{[math]}$ 取得最小值，g（x）取得最大值为 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
（2）设α≤x₁＜x₂≤β，则 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ ，
又a（x₁+x₂）-x₁x₂+4＞a（x₁+x₂）-x₁x₂+1＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
故f（x）在区间[α，β]上是增函数．
分析：（1）由f（x）＜a得 $\text{[math]}$ ，分离出参数a后转化为求函数的最值即可，由g（x）的符号变化规律可知只需求g（x）在x∈（0，2]的最大值，利用单调性可求；
（2）定义法：设α≤x₁＜x₂≤β，则 $\text{[math]}$ ，两式相加可得 $\text{[math]}$ ，利用作差法可证明f（x₂）＞f（x₁）；
点评：本题考查函数恒成立问题、单调性的判断，考查转化思想，单调性的证明应严格论证，方法有定义法、导数法．