Question

(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝mx－,g(x)＝2lnx.

       (Ⅰ)当m＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

       (Ⅱ)当m＝1时，证明方程f(x)＝g(x)有且仅有一个实数根；

       (Ⅲ)若xÎ(1,e]时，不等式f(x)－g(x)＜2恒成立，求实数m的取值范围.

Answer 1

解：⑴ m＝2时，f(x)＝2x－,f¢(x)＝2＋,f¢(1)＝4,    …………………………1分

切点坐标为(1,0)，∴切线方程为y＝4x－4              ………………………………2分

⑵ m＝1时，令h(x)＝f(x)－g(x)＝x－－2lnx,则h¢(x)＝1＋－＝≥0

∴h(x)在(0,＋∞)上是增函数。                         ………………………………4分

又h(e).h()＝－(－e＋2)²＜0, ∴h(x)在(,e)上有且只有一个零点  …………………5分

∴方程有且仅有一个实数根；                     ………………………6分

(或说明h(1)＝0也可以)

⑶ 由题意知，mx－－2lnx＜2恒成立，即m(x²－1)＜2x＋2xlnx恒成立，∵x²－1＞0

则当xÎ(1,e]时，m＜恒成立,                        ……………………7分

令G(x)＝，当xÎ(1,e]时，G¢(x)＝＜0, ……………………9分

则G(x)在xÎ(1,e]时递减，∴G(x)在xÎ(1,e]时的最小值为G(e)＝,……………11分

则m的取值范围是(－∞,]                                  ………………12分