Question

选修4-1：几何证明选讲
如图，在△ABC中，CM是∠ACB的平分线，△AMC的外接圆O交BC于点N．若AC=

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AB，求证：BN=2AM．

Answer 1

分析：连接MN，AN，结合圆内接四边形的性质定理可证得△BMN∽△BCA，进而根据已知中 AC=

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2

AB，及相似三角形的性质可得MN=

1

2

BN，进而根据圆周角定理，及CM是∠ACB的平分线，证得答案．

解答：证明：连接MN，AN
由圆内接四边形的性质定理可得：
∠BNM=∠BAC，∠BMN=∠BCA
∴△BMN∽△BCA
∴BA：AC=BN：MN
又∵AC=

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2

AB
∴MN=

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2

BN
∵∠MNA=∠MCA，∠MAN=∠MCN，CM是∠ACB的平分线，
∴∠MNA=∠MAN
∴MN=MA
∴AM=

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2

BN
∴BN=2AM

点评：本题考查的知识点是圆周角定理，相似三角形的判定和性质，圆内接四边形性质定理，其中判断出△BMN∽△BCA是解答本题的关键．