Question

设x∈R，f（x）=(

1

2

)|x|，若不等式f（x）+f（2x）≤k对于任意的x∈R恒成立，则实数k的取值范围是

k≥2

．

Answer 1

分析：根据指数函数的单调性及复合函数的单调性确定原则，我们可以分析出函数f（x）和函数f（2x）的单调性，进而分析出函数F（x）=f（x）+f（2x）的单调性，进而求出F（x）=f（x）+f（2x）的最大值后，即可得到实数k的取值范围．

解答：解：∵f（x）=(

1

2

)|x|，
∴函数f（x）在区间（-∞，0]上为增函数，在区间[0，+∞）上为减函数，
且函数f（2x）在区间（-∞，0]上为增函数，在区间[0，+∞）上为减函数，
令F（x）=f（x）+f（2x），
根据函数单调性的性质可得F（x）=f（x）+f（2x）在区间（-∞，0]上为增函数，在区间[0，+∞）上为减函数，
故当x=0时，函数F（x）取最大值2，
若不等式f（x）+f（2x）≤k对于任意的x∈R恒成立，
则实数k的取值范围是k≥2
故答案为：k≥2

点评：本题以不等式恒成立问题为载体考查了函数的单调性及函数的最值，其中构造函数F（x）=f（x）+f（2x），并根据函数的单调性及复合函数的单调性确定原则，确定函数F（x）=f（x）+f（2x）的单调性及最值是解答的关键．