Question

（2013•天津模拟）设函数f（x）=

a

x

+xlnx，g（x）=x³-x²-3．
（Ⅰ）讨论函数h(x)=

f(x)

x

的单调性；
（Ⅱ）如果存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
（Ⅲ）如果对任意的s，t∈[

1

2

，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，分类讨论，利用导数的正负，即可确定函数的单调区间；
（Ⅱ）如果存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，等价于：[g（x₁）-g（x₂）]_max≥M，求出函数的最值，即可求满足条件的最大整数M；
（Ⅲ）当x∈[

1

2

，2]时，f(x)=

a

x

+xlnx≥1恒成立，等价于a≥x-x²lnx恒成立，求右边的最值，即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）h(x)=

a

x2

+lnx，h′(x)=-

2a

x3

+

1

x

=

x2-2a

x3

，…（1分）
①a≤0，h'（x）≥0，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增…（2分）
②a＞0，h′(x)≥0，x≥

2a

，函数h（x）的单调递增区间为(

2a

，+∞)，h′(x)≤0，0＜x≤

2a

，函数h（x）的单调递减区间为(0，

2a

)…（4分）
（Ⅱ）存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，等价于：[g（x₁）-g（x₂）]_max≥M，…（5分）
考察g（x）=x³-x²-3，g′(x)=3x(x-

2

3

)，…（6分）

x	0	(0， 2 3 )	2 3	( 2 3 ，2)	2
g′（x）	0	-	0	+
g（x）	-3	递减	极（最）小值- 85 27	递增	1

…（8分）
由上表可知：g(x)min=g(

2

3

)=-

85

27

，g(x)max=g(2)=1，
∴[g（x₁）-g（x₂）]_max=g（x）_max-g（x）_min=

112

27

，…（9分）
所以满足条件的最大整数M=4；…（10分）
（Ⅲ）当x∈[

1

2

，2]时，f(x)=

a

x

+xlnx≥1恒成立，等价于a≥x-x²lnx恒成立，…（11分）
记h（x）=x-x²lnx，所以a≥h_max（x）
又h′（x）=1-2xlnx-x，则h′（1）=0．
记h'（x）=（1-x）-2lnx，x∈[

1

2

，1)，1-x＞0，xlnx＜0，h'（x）＞0
即函数h（x）=x-x²lnx在区间[

1

2

，1)上递增，
记h'（x）=（1-x）-2lnx，x∈（1，2]，1-x＜0，xlnx＞0，h'（x）＜0
即函数h（x）=x-x²lnx在区间（1，2]上递减，
∴x=1，h（x）取到极大值也是最大值h（1）=1…（13分）
∴a≥1…（14分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．