题目内容
已知f（x）=（1+x+x2）4（1-x）9
（1）求f（x）的展开式中x3项的系数；
（2）设f（x）=a0+a1x+a2x2+…+a17x17，求a2+a4+6+…+a16的值．
（1）求f（x）的展开式中x3项的系数；
（2）设f（x）=a0+a1x+a2x2+…+a17x17，求a2+a4+6+…+a16的值．
分析：（1）利用立方差公式1-x3=（1-x）•（1+x+x2）可将f（x）=（1+x+x2）4（1-x）9转化为f（x）=（1-x3）4•（1-x）5，可易求展开式中x3项的系数；
（2）f（x）=a0+a1x+a2x2+…+a17x17，通过赋值，分别令x=1与x=-1，二者联立即可求得a0+a2+a4+6+…+a16的值，再令x=0即可求得答案．
（2）f（x）=a0+a1x+a2x2+…+a17x17，通过赋值，分别令x=1与x=-1，二者联立即可求得a0+a2+a4+6+…+a16的值，再令x=0即可求得答案．
解答：解：（1）∵1-x3=（1-x）•（1+x+x2），
∴f（x）=（1+x+x2）4（1-x）9
=（1-x3）4•（1-x）5，
∴f（x）的展开式中x3项的系数为14•
（-1）3+
•（-1）1•15=-14；
（2）∵f（x）=（1+x+x2）4（1-x）9=a0+a1x+a2x2+…+a17x17，
∴f（1）=a0+a1+a2+…+a17=0；①
f（-1）=a0-a1+a2-a3+…-a17=29；②
∴f（1）+f（-1）=2（a0+a2+a4+6+…+a16）=29，
∴a0+a2+a4+6+…+a16=28．
又f（0）=a0+0=1，故a0=1，
∴a2+a4+6+…+a16=256-1=255．
∴f（x）=（1+x+x2）4（1-x）9
=（1-x3）4•（1-x）5，
∴f（x）的展开式中x3项的系数为14•
| C | 3 5 |
| C | 1 4 |
（2）∵f（x）=（1+x+x2）4（1-x）9=a0+a1x+a2x2+…+a17x17，
∴f（1）=a0+a1+a2+…+a17=0；①
f（-1）=a0-a1+a2-a3+…-a17=29；②
∴f（1）+f（-1）=2（a0+a2+a4+6+…+a16）=29，
∴a0+a2+a4+6+…+a16=28．
又f（0）=a0+0=1，故a0=1，
∴a2+a4+6+…+a16=256-1=255．
点评：本题考查二项式定理的应用，考查二项式系数的性质，突出考转化思想与查赋值法的应用，属于中档题．
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