Question

已知圆C：（x+1）²+y²=4和圆外一点A（1，2

3

），
（1）若直线m经过原点O且圆C上恰有三个点到直线m的距离为1，求直线m的方程；
（2）若经过A的直线l与圆C相切，切点分别为D，E，求切线方程及DE所在的直线方程．

Answer 1

分析：（1）圆C的圆心为（-1，0），半径r=2，圆C上恰有三个点到直线m的距离为1，则圆心到直线m的距离恰为1，由于直线m经过原点，圆心到直线m的距离最大值为1．所以满足条件的直线就是经过原点且垂直于OC的直线，故直线方程可求；
（2）先假设直线方程，再利用点线距离等于半径求解，需注意斜率不存在时也成立；求过切点的直线方程只需要将两圆方程相减即得．

解答：解：（1）圆C的圆心为（-1，0），半径r=2，圆C上恰有三个点到直线m的距离为1
则圆心到直线m的距离恰为1…（2分）
设直线方程为y=kx，d=

|-k-0|

1+k2

=1，k无解…（3分）
直线斜率不存在时，直线方程为x=0显然成立，所以所求直线为x=0…（5分）
（2）设直线方程为y-2

3

=k（x-1），d=

|-2k+2 3 |

1+k2

=2，k=

3

3

所求直线为y-2

3

=

3

3

(x-1)，即

3

x-3y+5

3

=0…（6分）
斜率不存在时，直线方程为x=1…（7分）
过点CDEA有一外接圆，x2+(y-

3

)2=4，即x2+y2-2

3

y-1=0
过切点的直线方程x+

3

y-1=0…（10分）

点评：本题主要考查直线与圆轭位置关系，要充分利用圆的特殊性简化解题．