Question

已知函数f（x）=2lnx-x²（x＞0）．
（1）求函数f（x）的单调区间与最值；
（2）若方程2xlnx+mx-x³=0在区间内有两个不相等的实根，求实数m的取值范围；  （其中e为自然对数的底数）
（3）如果函数g（x）=f（x）-ax的图象与x轴交于两点A（x₁，0），B（x₂，0），且0＜x₁＜x₂，求证：g'（px₁+qx₂）＜0（其中，g'（x）是g（x）的导函数，正常数p，q满足p+q=1，q＞p）

Answer 1

【答案】分析：（1）由，x＞0，知当0＜x＜1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．由此能求出函数f（x）的单调区间与最值．
（2）方程2xlnx+mx-x³=0化为-m=2lnx-x²，由f（x）在区间上的最大值为-1，，f（e）=2-e²，．知f（x）在区间上的最小值为．由此能求出实数m的取值范围．
（3）由，又f（x）-ax=0有两个实根x₁，x₂，知两式相减，得2（lnx₁-lnx₂）-（x₁²-x₂²）=a（x₁-x₂）由此入手能够证明：．g′（px₁+qx₂）＜0．
解答：解：（1）∵，x＞0，
∴当0＜x＜1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．
∴当x=1时，f（x）有极大值，也是最大值，即为-1，但无最小值．
故f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）；最大值为-1，但无最小值．
（2）方程2xlnx+mx-x³=0化为-m=2lnx-x²，由（1）知，f（x）在区间上的最大值为-1，，f（e）=2-e²，．
∴f（x）在区间上的最小值为．
故-m=2lnx-x²在区间上有两个不等实根需满足，
∴，∴实数m的取值范围为．
（3）∵，又f（x）-ax=0有两个实根x₁，x₂，
∴两式相减，得2（lnx₁-lnx₂）-（x₁²-x₂²）=a（x₁-x₂）
∴
于是
=．
∵q＞p，∴2q≥1，∵2p≤1，∴（2p-1）（x₂-x₁）＜0．
要证：g′（px₁+qx₂）＜0，只需证：＜0．
只需证：．（*）
令，∴（*）化为．
只证即可.=
=，
∴t-1＜0．∴u′（t）＞0，∴u（t）在（0，1）上单调递增，∴u（t）＜u（1）=0
∴u（t）＜0，∴．
即：．∴g′（px₁+qx₂）＜0．
点评：本题考查导数的性质和应用，具有一定的难度，解题时要注意挖掘题设中的隐含条件．