题目内容

设椭圆方程为x2+
y2
4
=1，求点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O为坐标原点，点P满足
OP
=
1
2
(
OA
+
OB
)，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程．
设P（x，y）是所求轨迹上的任一点，
①当斜率存在时，直线l的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
椭圆：4x2+y2-4=0
由直线l：y=kx+1代入椭圆方程得到：
（4+k2）x2+2kx-3=0，
x1+x2=-
2k
4+k2
，y1+y2=
8
4+k2
，
由
OP
=
1
2
(
OA
+
OB
)得：
（x，y）=
1
2
（x1+x2，y1+y2），
即：
x=
x1+x2
2
=-
k
4+k2
y=
y1+y2
2
=
4
4+k2

消去k得：4x2+y2-y=0
当斜率不存在时，AB的中点为坐标原点，也适合方程
所以动点P的轨迹方程为：4x2+y2-y=0．
练习册系列答案
相关题目
设椭圆C：
x2
λ+1
+y2=1（λ＞0）的两焦点是F1，F2，且椭圆上存在点P，使
PF1
•
PF2
=0
（1）求实数λ的取值范围；
（2）若直线l：x-y+2=0与椭圆C存在一公共点M，使得|MF1|+|MF2|取得最小值，求此最小值及此时椭圆的方程．
（3）在条件（2）下的椭圆方程，是否存在斜率为k（k≠0）的直线?，与椭圆交于不同的两点A、B，满足
AQ
=
QB
，且使得过点Q，N（0，-1）两点的直线NQ满足
NQ
•
AB
=0？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．
精英家教网设b＞0，椭圆方程为
x2
2b2
+
y2
b2
=1，抛物线方程为x2=8（y-b）．如图所示，过点F（0，b+2）作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F1．
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．
已知A（-1，0），B（1，0），设M（x，y）为平面内的动点，直线AM，BM的斜率分别为k1，k2，
①若
k1
k2
=2，则M点的轨迹为直线x=-3（除去点（-3，0））
②若k1•k2=-2，则M点的轨迹为椭圆x2+
y2
2
=1（除去长轴的两个端点）
③若k1•k2=2，则M点的轨迹为双曲线x2-
y2
2
=1
④若k1+k2=2，则M点的轨迹方程为：y=x-
1
x
（x≠±1）
⑤若k1-k2=2，则M点的轨迹方程为：y=-x2+1（x≠±1）
上述五个命题中，正确的有
①④⑤
①④⑤
（把所有正确命题的序号都填上）．
设b＞0，椭圆方程为，抛物线方程为x2=8（y-b）．如图所示，过点F（0，b+2）作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F1．
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．
设b＞0，椭圆方程为，抛物线方程为x2=8（y-b）．如图所示，过点F（0，b+2）作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F1．
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．

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