Question

已知α、β为锐角，且 cosα=

3

5

，  sin(α-β)=

5

13

，求cosβ的值．

Answer 1

分析：将β用α-（α-β）来表示，由此cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β），利用同角三角函数公式求出数据，代入计算即可．

解答：解：∵0＜α＜

π

2

，0＜β＜

π

2

∴-

π

2

＜α-β＜

π

2

（1分）
∴sinα=

1-cos2α

=

1-( 3 5 )2

=

4

5

（3分）cos(α-β)=

1-sin2(α-β)

=

1-( 5 13 )2

=

12

13

（5分）
∴cosβ=cos[α-（α-β）]（7分）=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）（10分）=

12

13

 • 

3

5

+

5

13

 • 

4

5

=

56

65

（13分）

点评：本题考查两角和与差的三角函数公式及应用，关键将α-β视为整体，将β用α-（α-β）来表示，实现了角的代换．